数当てマジックの種明かし

数当てマジックを体験できるアプリを作成していたのですが、あまりに評判が悪くて処分しました。
で、その内の一つの数当てマジックの種明かしをします。
まずはシナリオ
マジシャン（以下、ま）：「好きな２桁の数字を頭の中でイメージしてください。」
客：「はい」
ま：「その数字を３で割ったときのあまりはいくつですか？」
客：「２です。」
ま：「その数字を５で割ったときのあまりはいくつですか？」
客：「３です。」
ま：「その数字を７で割ったときのあまりはいくつですか？」
客：「４です。」
ま：「その数字は５３ですね。」
客：「おぉ〜すご〜い！」
という感じですが、実際には７で割った時のあまりを瞬時に計算出来る人なんてほとんどいるわけもなく、
お客さんは（実はマジシャンも）電卓必須のマジックです。
肝心の種ですが、ここでまずお客さんが考えた２桁の数字を $x$ とします。
$x$ を３で割ったあまり、５で割ったあまり、７で割ったあまりをそれぞれ $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ とします。
で、次の式を計算します。
$70\times \alpha+21\times \beta+15\times\gamma$ 　(式1)
この式から得られた答えから105未満になるまで繰り返し105を引きます。
例えば上の例だと
$70\times2+21\times3+15\times4 = 263$
105未満になるまで、105で繰り返し引きます。
$263 - 105 = 158$
$158 - 105 = 53$
53出てきましたね。
なんでこうなるの？ということですが、 $3\times5\times\7=105$ ということに気づくことが必要です。
次は式１の係数に注目です。
3のあまりである $\alpha$ の係数70は $7\times5\times2$
5のあまりである $\beta$ の係数21は $3\times7$
7のあまりである $\gamma$ の係数15は $3\times5$
あとは係数をすべて足すと106になります。
見えましたか？
見えないということでしたら、全部愚直に式に書きだします。
ある数 $x$ を３で割ったときの商、５で割った時の商、７で割ったときの商をそれぞれ $a, b, c$ とします。
あと、最後に105を引いた回数を $d$ とします。
すると次の４つの式ができます。
$3a+\alpha=x$ 　式２
$5b+\beta=x$ 　式３
$7c+\gamma=x$ 　式４
$70\alpha+21\beta+15\gamma-105d=x$ 　式５
式２〜４の式を５に代入します。
$70x-210a+21x-105b+15x-105c-105d=x$
$\Leftrightarrow106x-210a-105b-105c-105d=x$
$\Leftrightarrow105x=210a-105b-105c-105d$
お、なんか全体が105で割り切れるじゃん。美しい！
と思ったのは私だけでしょうか。
つまり、お客さんが考えた数字を当てるための式５は105で繰り返し引けば、その数字が出てくるように工夫されているのでした。